単位ベクトル3本のなす四面体の体積の最大化

原点をOとする座標空間において、点A, B, Cは $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$ を満たし、さらに $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\vec{OB}\cdot\vec{OC}=\vec{OC}\cdot\vec{OA}=t$ を満たすとする（tは実数の定数）。

(1) O, A, B, Cが同一平面上にない四面体OABCを作るような実数tの範囲を求めよ。

(2) (1)の範囲のtに対して、四面体OABCの体積をV(t)とする。V(t)をtの式で表せ。

(3) V(t)を最大にするtの値と、そのときのV(t)の最大値を求めよ。