正三角錐型四面体の垂線と体積の最大化

四面体OABCにおいて、$\vec{OA}=\vec a,\ \vec{OB}=\vec b,\ \vec{OC}=\vec c$ とする。$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ であり、 $\vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\cos\theta \quad \left(0<\theta<\frac{2\pi}{3}\right)$ が成り立つとする（この範囲でO, A, B, Cは同一平面上になく、四面体をなすことが知られている）。点Hを $\vec{OH}=\dfrac13(\vec a+\vec b+\vec c)$ で定める。

(1) $\vec{OH}\cdot \vec{AB}=0$ かつ $\vec{OH}\cdot \vec{AC}=0$ であることを示し、直線OHが平面ABCと垂直であることを述べよ。

(2) $|\vec{OH}|$ を $\theta$ を用いて表せ。

(3) 四面体OABCの体積を $V(\theta)$ とする。$V(\theta)$ を $\theta$ を用いて表し、$V(\theta)$ が最大となるときの $\theta$ の値と最大値を求めよ。