n²+n+1 の素因数の性質

$n$ を正の整数とする。

(1) $n^2+n+1$ が3で割り切れるための必要十分条件を、$n$ を3で割った余りを用いて述べよ。

(2) $p$ を3以外の素数とする。ある正の整数 $n$ に対して $n^2+n+1$ が $p$ で割り切れるとき、$p \equiv 1 \pmod{3}$ であることを示せ。

(3) 1以上1000以下の整数 $n$ のうち、$n^2+n+1$ が7で割り切れるものの個数を求めよ。