公開問題ストック

$n$を自然数とし、$S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ とする。(1) すべての自然数$k$（$k\ge2$）に対して、$\displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{dx}{x}<\dfrac1k<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\dfrac{dx}{x}$ が成り立つことを示せ。(2) (1)を用いて$S_n$を自然対数を用いた式で評価し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。

毎年初めに10万円ずつ積み立てて、年利率2%の複利で運用します。10年間積み立てたとき、10年目の年末での元利合計を求めなさい。ただし$1.02^{10}=1.219$とし、答えは万円未満を四捨五入して求めなさい。

1辺の長さが1の正三角形のタイルを、下の図のように1段目に1枚、2段目に3枚、3段目に5枚、というように各段で使うタイルの枚数が奇数の順に増えるように並べて大きな正三角形を作っていきます。$n$段目までに使うタイルの総数を$n$の式で表しなさい。また、10段目まで並べたときのタイルの総数を求めなさい。

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2$、$a_{n+1}=3a_n+4$（$n=1,2,3,\cdots$）で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

初項 $3$、公比 $2$ の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、第7項の値を求めよ。

初項 $5$、公差 $3$ の等差数列 $\{a_n\}$ について、第20項 $a_{20}$ と初項から第20項までの和 $S_{20}$ を求めよ。

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和が$S_n=n^2+2n$で与えられるとき、一般項$a_n$を求めよ。

数列$\{a_n\}$が$a_1=2$、$a_{n+1}=a_n+3n$で定められるとき、一般項$a_n$を求めよ。

初項3、公比2の等比数列$\{a_n\}$について、一般項$a_n$を求めなさい。また、初項から第5項までの和$S_5$を求めなさい。

初項が$5$、公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$がある。この数列の一般項$a_n$を求め、第20項$a_{20}$の値を求めなさい。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

初項 $3$、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求め、$S_n > 1000$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めなさい。