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確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = c\,x(1-x)$（$0 \le x \le 1$、それ以外では $f(x)=0$）で与えられている。定数 $c$ の値を求め、さらに期待値 $E[X]$ を求めよ。

$X$ を標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数とし、$Y=e^X$ とおく（$Y$ は対数正規分布に従う）。標準正規分布の積率母関数 $E[e^{tX}]=e^{t^2/2}$（$t\in\mathbb{R}$）を用いて、$E[Y]$ と $\mathrm{Var}(Y)$ を求めよ。

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数が $f(x,y)=x+y$（$0<x<1,\ 0<y<1$、それ以外では $0$）で与えられている。(1) これが確率密度関数として正しく規格化されていることを確認せよ。(2) $P\left(X<\dfrac{1}{2},\,Y<\dfrac{1}{2}\right)$ を求めよ。(3) $X$ と $Y$ の周辺密度関数をそれぞれ求め、$X$ と $Y$ が独立であるかどうかを判定せよ。

確率変数 $X$ がパラメータ $\lambda>0$ のポアソン分布に従う、すなわち $P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$（$k=0,1,2,\dots$）とする。定義に基づいて $E[X]$ と $E[X(X-1)]$ を直接計算し、それらを用いて分散 $\mathrm{Var}(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ が値 $0, 1, 2$ をそれぞれ確率 $0.2,\ 0.5,\ 0.3$ でとるとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めよ。

さいころを2回投げるとき、出た目の和が7になる確率を求めよ。

1枚の硬貨を5回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めよ。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50, 100)$ に従うとき、$P(X > 60)$ を標準正規分布表を用いて求めよ。ただし $\Phi(1) = 0.8413$ とする。

ある病気の有病率は $1\%$ であり、この病気に対する検査は病気の人が検査を受けると $99\%$ の確率で陽性となり（感度99%）、病気でない人が検査を受けても $1\%$ の確率で誤って陽性となる（偽陽性率1%）とする。ある人がこの検査を受けて陽性反応が出たとき、その人が実際に病気である確率を求めよ。

ある窓口に1時間あたり平均4件の問い合わせが到着し、その件数はポアソン分布 $\text{Po}(4)$ に従うとする。1時間にちょうど2件の問い合わせがある確率を求めなさい。

確率変数 $X, Y$（ともに値 $0$ または $1$ をとる）の同時確率分布が次の表で与えられている。$\begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0.1 & 0.2 \\ 1 & 0.3 & 0.4 \end{array}$ このとき共分散 $\text{Cov}(X,Y)$ を求めなさい。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \begin{cases} 3x^2 & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ で与えられるとき、期待値 $E[X]$ と確率 $P\left(X > \dfrac{1}{2}\right)$ を求めなさい。

ある工場には機械Aと機械Bがあり、製品の60%を機械Aが、40%を機械Bが生産している。機械Aの不良率は2%、機械Bの不良率は5%である。生産された製品の中から1つを無作為に選んだところ不良品であった。この製品が機械Aで作られたものである確率を求めなさい。

確率変数$X$が次の確率分布に従うとき、期待値$E[X]$と分散$V[X]$を求めなさい。$X$: 1, 2, 3　確率: $0.2, 0.5, 0.3$

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき、$n=10$, $p=0.3$ の場合の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。