正三角形上を巡る点の確率

正三角形ABCの頂点$A$を出発点とする点Pがある。点Pは1秒ごとに、現在いる頂点から他の2つの頂点のいずれかへ等確率$\dfrac12$で移動する。$n$秒後に点Pが頂点$A$にいる確率を$p_n$とする（$n=0,1,2,\dots$、$p_0=1$）。$p_n$を$n$の式で表し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$を求めよ。