正三角形上を巡る点の確率

正三角形ABCの頂点$A$を出発点とする点Pがある。点Pは1秒ごとに、現在いる頂点から他の2つの頂点のいずれかへ等確率$\dfrac12$で移動する。$n$秒後に点Pが頂点$A$にいる確率を$p_n$とする（$n=0,1,2,\dots$、$p_0=1$）。$p_n$を$n$の式で表し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$を求めよ。

$p_n=\dfrac13+\dfrac23\left(-\dfrac12\right)^n$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\dfrac13$

$n+1$秒後にAにいるのは、$n$秒後にAにいなかった状態から確率$\dfrac12$でAへ移動する場合のみなので、漸化式 $p_{n+1}=\dfrac12(1-p_n)$ が成り立つ。不動点は $\alpha=\dfrac13$ であり、$p_{n+1}-\dfrac13=-\dfrac12\left(p_n-\dfrac13\right)$ より数列$\{p_n-\frac13\}$は公比$-\dfrac12$の等比数列。よって $p_n-\dfrac13=\dfrac23\left(-\dfrac12\right)^n$、$p_n=\dfrac13+\dfrac23\left(-\dfrac12\right)^n$。$n\to\infty$のとき$\left(-\frac12\right)^n\to0$なので $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\dfrac13$。