さいころの目の積と3の剰余

1個のさいころを繰り返し$n$回投げ、出た目を順に$X_1, X_2, \ldots, X_n$とする。これらの積を$P_n = X_1 X_2 \cdots X_n$とする。

(1) $n=2$のとき、$P_2$を3で割った余りが0,1,2となる確率をそれぞれ求めよ。

(2) 自然数$n$に対し、$P_n$を3で割った余りが0である確率を$p_n$とする。$p_n$を$n$の式で表せ。

(3) $n$を2以上の整数とする。「$P_n$を3で割った余りが1である」という事象を$A$、「$X_1=1$である」という事象を$C$とする。条件付き確率$P(C\mid A)$を求めよ。