さいころの目の積と3の剰余

1個のさいころを繰り返し$n$回投げ、出た目を順に$X_1, X_2, \ldots, X_n$とする。これらの積を$P_n = X_1 X_2 \cdots X_n$とする。

(1) $n=2$のとき、$P_2$を3で割った余りが0,1,2となる確率をそれぞれ求めよ。

(2) 自然数$n$に対し、$P_n$を3で割った余りが0である確率を$p_n$とする。$p_n$を$n$の式で表せ。

(3) $n$を2以上の整数とする。「$P_n$を3で割った余りが1である」という事象を$A$、「$X_1=1$である」という事象を$C$とする。条件付き確率$P(C\mid A)$を求めよ。

(1) 余り0となる確率: $\dfrac{5}{9}$、余り1となる確率: $\dfrac{2}{9}$、余り2となる確率: $\dfrac{2}{9}$

(2) $p_n = 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$

(3) $P(C\mid A) = \dfrac{1}{4}$

さいころの目1~6を3で割った余りは順に1,2,0,1,2,0であり、余り0の目は{3,6}、余り1の目は{1,4}、余り2の目は{2,5}で、それぞれ確率$\frac13$ずつ出る。

$P_n$を3で割った余りが0,1,2である確率をそれぞれ$p_n,q_n,r_n$とし、$P_0=1$（空の積）として$p_0=0,q_0=1,r_0=0$とする。$n-1$回目までの積の余りが$i$のとき、$n$回目に余り$j$の目が出ると新しい積の余りは$ij\bmod3$になる。特に余り0が一度出ると以後ずっと余り0（吸収状態）。余り1の目が出ると積の余りは変化せず、余り2の目が出ると余り1と2が入れ替わる（$2\times1=2,\ 2\times2=4\equiv1$）。よって $p_n=p_{n-1}+\frac13q_{n-1}+\frac13r_{n-1},\quad q_n=\frac13q_{n-1}+\frac13r_{n-1},\quad r_n=\frac13q_{n-1}+\frac13r_{n-1}.$

(1) $n=2$: $p_2=1-\left(\frac23\right)^2=1-\frac49=\frac59$（少なくとも1回余り0の目が出る確率として直接計算可）。 $q_1=r_1=\frac13$（$q_0=1,r_0=0$を代入）なので $q_2=\frac13(q_1+r_1)=\frac13\cdot\frac23=\frac29,\quad r_2=\frac29$。 検算：$\frac59+\frac29+\frac29=1$。

(2) $q_n,r_n$の漸化式は対称なので、$q_1=r_1=\frac13$より$n\ge1$で常に$q_n=r_n$が成り立つ。このとき $q_n=\frac13(q_{n-1}+r_{n-1})=\frac23q_{n-1}\quad(n\ge2)$ より、$q_n=\frac13\left(\frac23\right)^{n-1}$（$n\ge1$）。よって $p_n=1-q_n-r_n=1-2q_n=1-\frac23\left(\frac23\right)^{n-1}=1-\left(\frac23\right)^n.$

(3) $A$: $P_n\equiv1\pmod3$、$P(A)=q_n=\frac13\left(\frac23\right)^{n-1}$。

$C$: $X_1=1$（余り1の目）。$X_1=1$のとき $P_n\equiv X_2\cdots X_n\pmod3$ なので、$C\cap A$ が起こるのは「$X_1=1$」かつ「$X_2,\ldots,X_n$の積が3で割って1余る」ときであり、後者の確率は$(n-1)$回の同様の試行での$q_{n-1}$に等しい（$n\ge2$なので$n-1\ge1$）。 $P(C\cap A)=\frac16\cdot q_{n-1}=\frac16\cdot\frac13\left(\frac23\right)^{n-2}=\frac{1}{18}\left(\frac23\right)^{n-2}.$

よって $P(C\mid A)=\frac{P(C\cap A)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{18}\left(\frac23\right)^{n-2}}{\frac13\left(\frac23\right)^{n-1}}=\frac16\left(\frac23\right)^{-1}=\frac16\cdot\frac32=\frac14.$

これは$n$によらず一定の値$\frac14$である。