調和数列の和の極限

$n$を自然数とし、$S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ とする。(1) すべての自然数$k$（$k\ge2$）に対して、$\displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{dx}{x}<\dfrac1k<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\dfrac{dx}{x}$ が成り立つことを示せ。(2) (1)を用いて$S_n$を自然対数を用いた式で評価し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。