調和数列の和の極限

$n$を自然数とし、$S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ とする。(1) すべての自然数$k$（$k\ge2$）に対して、$\displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{dx}{x}<\dfrac1k<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\dfrac{dx}{x}$ が成り立つことを示せ。(2) (1)を用いて$S_n$を自然対数を用いた式で評価し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\log2$（$\log$は自然対数）

(1) $f(x)=\dfrac1x$は$x>0$で単調減少なので、$k\le x\le k+1$で$f(x)\le f(k)=\dfrac1k$（等号は$x=k$のみ）となり$\int_k^{k+1}\frac{dx}{x}<\frac1k$。同様に$k-1\le x\le k$で$f(x)\ge f(k)$となり$\frac1k<\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}$。(2) $k=n+1,\dots,2n$ で辺々加えると、左側の和は$\int_{n+1}^{2n+1}\frac{dx}{x}=\log\dfrac{2n+1}{n+1}$、右側の和は$\int_{n}^{2n}\frac{dx}{x}=\log2$となり、$\log\dfrac{2n+1}{n+1}<S_n<\log2$を得る。$n\to\infty$のとき$\dfrac{2n+1}{n+1}\to2$なので左辺も$\log2$に収束し、はさみうちの原理より$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\log2$。