n^3-nとn^5-nの倍数性の証明

自然数$n$に対して、$n^3-n$は$6$の倍数であることを示せ。また、$n^5-n$は$30$の倍数であることを示せ。

証明は解説の通り（いずれも成り立つ）

$n^3-n=n(n-1)(n+1)$は連続する3整数の積なので、この中に2の倍数と3の倍数が必ず含まれ、$6$の倍数である。次に$n^5-n$について、フェルマーの小定理より素数$p$に対し$n^p\equiv n\pmod p$が成り立つ。$p=5$のとき$n^5\equiv n\pmod5$。$p=3$のとき$n^3\equiv n\pmod3$より$n^5=n^3\cdot n^2\equiv n\cdot n^2=n^3\equiv n\pmod3$。$p=2$のとき明らかに$n^5$と$n$の偶奇は一致するので$n^5\equiv n\pmod2$。よって$n^5-n$は$2,3,5$のいずれでも割り切れ、これらは互いに素だから$2\times3\times5=30$の倍数である。