ダッシュボード

1個のさいころを繰り返し$n$回投げ、出た目を順に$X_1, X_2, \ldots, X_n$とする。これらの積を$P_n = X_1 X_2 \cdots X_n$とする。

(1) $n=2$のとき、$P_2$を3で割った余りが0,1,2となる確率をそれぞれ求めよ。

(2) 自然数$n$に対し、$P_n$を3で割った余りが0である確率を$p_n$とする。$p_n$を$n$の式で表せ。

(3) $n$を2以上の整数とする。「$P_n$を3で割った余りが1である」という事象を$A$、「$X_1=1$である」という事象を$C$とする。条件付き確率$P(C\mid A)$を求めよ。

原点をOとする座標空間において、点A, B, Cは $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$ を満たし、さらに $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\vec{OB}\cdot\vec{OC}=\vec{OC}\cdot\vec{OA}=t$ を満たすとする（tは実数の定数）。

(1) O, A, B, Cが同一平面上にない四面体OABCを作るような実数tの範囲を求めよ。

(2) (1)の範囲のtに対して、四面体OABCの体積をV(t)とする。V(t)をtの式で表せ。

(3) V(t)を最大にするtの値と、そのときのV(t)の最大値を求めよ。

自然数 $n$ に対して $a_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx$ とする。

(1) $a_n$ を $a_{n-1}$ を用いて表せ（漸化式を求めよ）。

(2) $0 < x \le 1$ において不等式 $1 \le e^{1-x} \le \frac{1}{x}$ が成り立つことを示し、これを用いて $\frac{e^{-1}}{n+1} \le a_n \le \frac{e^{-1}}{n}$ を示せ。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n a_n$ を求めよ。