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360の正の約数の個数を求めよ。

正の整数Nは素因数として2と3のみをもち（すなわち $N=2^a\times3^b$、$a,b$ は1以上の整数）、正の約数の個数は15個である。このようなNの値をすべて求めよ。

塔の真下の点をHとする。地上の2地点A, Bの距離は $AB=120$ m であり、$\angle HAB=30^\circ$、$\angle HBA=30^\circ$ であった。また、地点Aから塔の先端を見上げたときの仰角は $30^\circ$ であった。塔の高さを求めよ。

5進法で表された数 $342_{(5)}$ を10進法で表せ。

留数定理を用いて、広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{x^4+1}$ の値を求めよ。

川の同じ岸にある2地点A, B間の距離は $AB=100$ m である。対岸に見える目標物Cについて、$\angle CAB=30^\circ$、$\angle CBA=120^\circ$ であった。Aから目標物Cまでの距離ACを求めよ。ただし、$\sqrt3=1.732$ とする。

コーシーの積分公式を用いて、周回積分 $\displaystyle\oint_{|z|=1}\dfrac{e^{z}}{z}\,dz$（円周を正の向きに一周）を求めよ。

微分方程式 $y''-3y'+2y=0$、初期条件 $y(0)=1,\ y'(0)=0$ を満たす解 $y(x)$ を求めよ。

塔の真下の点をHとする。Hを通る一直線上に地点B, Aがこの順（H, B, Aの順）に並んでおり、$AB=50$ m である。地点Aから塔の先端を見上げると仰角は $30^\circ$、地点Bから見上げると仰角は $45^\circ$ であった。塔の高さを求めよ。ただし、$\sqrt3=1.732$ とする。

10進法の87を2進法で表せ。

$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $A=\{(x,y):x^2+y^2<1\}\cup\{(x,y):(x-3)^2+y^2<1\}$ が連結であるかどうかを、理由とともに答えよ。

ユークリッドの互除法を用いて、198と72の最大公約数を求めよ。

4で割ると3余り、7で割ると5余る自然数のうち、最小のものを求めよ。

地上の地点Aから木の根もとまでの水平距離は30mである。地点Aに立つ観測者が木の先端を見上げたところ、仰角は $30^\circ$ であった。観測者の目の高さを1.5mとするとき、木の高さを求めよ。ただし、$\sqrt3=1.732$ とする。

微分方程式 $y''+y=\sin x$ の一般解を求めよ。

ユークリッドの互除法を利用して、方程式 $17x-5y=1$ をみたす整数x, yの組をすべて求めよ。

地点Aから見える2つの目印P, Qについて、$AP=80$ m、$AQ=60$ m、$\angle PAQ=60^\circ$ であることがわかっている。P, Q間の距離PQを求めよ。ただし、$\sqrt{13}=3.606$ とする。

高さ50mのビルの屋上の点Pから、地上の地点Qを見下ろしたところ、俯角は $30^\circ$ であった。ビルの真下の点をHとし、Hは地上でQと同じ平面上にあり、$\angle PHQ=90^\circ$ とする。HQ間の距離を求めよ。ただし、$\sqrt3=1.732$ とする。

複素関数 $f(z)=\dfrac{z}{(z-1)(z+3)}$ について、円周 $|z|=2$ を正の向き（反時計回り）に一周する周回積分 $\displaystyle\oint_{|z|=2} f(z)\,dz$ を求めよ。

地点A, Bを結ぶ基準線の長さは $AB=200$ m である。塔Pについて $\angle PAB=45^\circ$、$\angle PBA=45^\circ$ であった。また、地点Aから見える目印Qは $AQ=100$ m の位置にあり、方向APと方向AQのなす角は $\angle PAQ=120^\circ$ であった。塔Pと目印Qの間の距離PQを求めよ。

実数 $a$ をパラメータとして、行列 $A(a)=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & a \end{bmatrix}$ の階数を $a$ の値に応じて求めよ。

確率変数 $X$ がパラメータ $\lambda>0$ のポアソン分布に従う、すなわち $P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$（$k=0,1,2,\dots$）とする。定義に基づいて $E[X]$ と $E[X(X-1)]$ を直接計算し、それらを用いて分散 $\mathrm{Var}(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = c\,x(1-x)$（$0 \le x \le 1$、それ以外では $f(x)=0$）で与えられている。定数 $c$ の値を求め、さらに期待値 $E[X]$ を求めよ。

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数が $f(x,y)=x+y$（$0<x<1,\ 0<y<1$、それ以外では $0$）で与えられている。(1) これが確率密度関数として正しく規格化されていることを確認せよ。(2) $P\left(X<\dfrac{1}{2},\,Y<\dfrac{1}{2}\right)$ を求めよ。(3) $X$ と $Y$ の周辺密度関数をそれぞれ求め、$X$ と $Y$ が独立であるかどうかを判定せよ。

行列 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$ の行列式 $\det A$ を求めよ。

行列 $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ の固有値と、それぞれに対応する固有ベクトル（の一例）を求めよ。

微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}-2y=e^{x}$、初期条件 $y(0)=1$ を満たす解 $y(x)$ を求めよ。

微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}=xy^2$、初期条件 $y(0)=1$ を満たす解 $y(x)$ を求めよ。

$X$ を標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数とし、$Y=e^X$ とおく（$Y$ は対数正規分布に従う）。標準正規分布の積率母関数 $E[e^{tX}]=e^{t^2/2}$（$t\in\mathbb{R}$）を用いて、$E[Y]$ と $\mathrm{Var}(Y)$ を求めよ。

クラメルの公式を用いて、連立一次方程式 $\begin{cases}2x+z=3\\ y-z=1\\ x+z=2\end{cases}$ を解け。

曲線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ の増減を調べ、極大値と極小値を求めよ。

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ のグラフ上の点 $(2, 4)$ を接点としない接線で、この点 $(2,4)$ を通るものの方程式を求めよ。

関数 $f(x)$ が $\displaystyle f(x)=x+\int_{0}^{2} f(t)\,dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x^2+2x$ とx軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。

$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} (t^2-3t+2)\,dt$ を求めよ。

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

$a>0$ とする。$\displaystyle\int_{0}^{a} (2x+2)\,dx = 15$ を満たす $a$ の値を求めよ。

関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、$x = 3$ における接線の方程式を求めよ。

閉区間 $-1 \leqq x \leqq 3$ における関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2つの曲線 $y=x^2-4$ と $y=-x^2+4$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x = 1$ で極大値 $5$ をとるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

曲線 $y=-x^2+4x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2$ の区間 $0 \leqq x \leqq 2$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

次のような方法で標本を選ぶことは、無作為抽出として適切であるかどうかを、理由とともに答えなさい。「ある高校の生徒全体の意見を調べるために、朝早く登校してくる生徒だけにアンケートを行う。」

次の(1)、(2)の調査は、全数調査と標本調査のどちらが適切か、それぞれ答えなさい。(1) ある工場で生産される乾電池の寿命を調べる調査 (2) 中学校の入学試験で、答案を採点して合否を決めるための調査

ある養鶏場で集荷された卵1500個の中から、50個を無作為に選んで重さを測ったところ、平均は58gであった。この養鶏場で集荷された卵1500個の重さの合計は、およそ何kgと推定されるか。

次の定積分を求めよ。$\displaystyle\int_{1}^{3} (2x-1)\,dx$

$k$を整数とする。$x$の2次方程式 $x^2-kx+(k+5)=0$ が異なる2つの整数解をもつような整数 $k$ をすべて求めよ。

$n$を自然数とし、$S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ とする。(1) すべての自然数$k$（$k\ge2$）に対して、$\displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{dx}{x}<\dfrac1k<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\dfrac{dx}{x}$ が成り立つことを示せ。(2) (1)を用いて$S_n$を自然対数を用いた式で評価し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $CD=5$, $DA=6$ とする。この四角形の面積、および対角線 $AC$ の長さをそれぞれ求めよ。

$a,b$を正の整数とし、$n=2^a\times3^b$ とする。$1$以上$n$以下の整数のうち、$n$と互いに素であるものの個数を$f(n)$とする。(1) $f(n)$を$n$を用いて表せ。(2) $f(n)=32$となるような正の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。

次の不定積分を求めよ。$\displaystyle\int (3x^2-4x+5)\,dx$

次の定積分を求めよ。$\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2-2x+3)\,dx$

座標空間において、$O(0,0,0)$、$A(2,0,0)$、$B(0,3,0)$、$C(0,0,6)$とする。(1) $\triangle ABC$の面積を求めよ。(2) 四面体OABCの体積を求めよ。(3) 点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さを求めよ。

正三角形ABCの頂点$A$を出発点とする点Pがある。点Pは1秒ごとに、現在いる頂点から他の2つの頂点のいずれかへ等確率$\dfrac12$で移動する。$n$秒後に点Pが頂点$A$にいる確率を$p_n$とする（$n=0,1,2,\dots$、$p_0=1$）。$p_n$を$n$の式で表し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$を求めよ。

$x$の方程式 $2\sin^3x-3\sin x+1=0$ （$0\le x<2\pi$）の異なる実数解の個数を求めよ。

三角形ABCにおいて $\angle A=60^\circ$、$AB+AC=8$ とする。辺BCの長さが最小となるときの$AB$, $AC$の値とそのときのBCの長さを求めよ。また、三角形ABCの面積の最大値を求めよ。

あるダム湖にいる鯉の総数を推定するために、次のような標識再捕獲調査を2回行った。【1回目】50匹の鯉を捕獲して印をつけて放流した後、100匹を捕獲したところ、印のついた鯉が5匹含まれていた。【2回目】60匹の鯉を捕獲して印をつけて放流した後、120匹を捕獲したところ、印のついた鯉が8匹含まれていた。この2回の調査結果からそれぞれ鯉の総数の推定値を求め、その平均をとることで、このダム湖にいる鯉の総数をより精度よく推定しなさい。答えは整数で求めなさい。

関数$y=2x^2$について、$x$の値が$a$から$a+3$まで増加するときの変化の割合が$14$であった。このとき、$a$の値を求めなさい。

関数$y=x^2$のグラフと直線$y=x+6$の交点の座標をすべて求めなさい。

物体を落下させるとき、落下し始めてから$x$秒間に落下する距離を$y$ mとすると、$y$は$x$の2乗に比例する。落下し始めて3秒後に落下した距離が$45$mであるとき、$y$を$x$の式で表しなさい。また、$x=5$のときの$y$の値を求めなさい。

関数$y=ax^2$のグラフが点$(3,\ -18)$を通るとき、$a$の値を求めなさい。

直方体ABCD-EFGHがある。上面は頂点A, B, C, Dをこの順に結んだ四角形、下面は頂点E, F, G, Hをこの順に結んだ四角形であり、辺AE, BF, CG, DHはそれぞれ上面と下面を結ぶ辺(側面の辺)である。このとき、辺ABに平行な辺と、辺ABに垂直に交わる辺をそれぞれすべて答えなさい。

直方体ABCD-EFGHがあり、AB=6cm, AD=4cm, AE=9cmである。ただし、上面は頂点A, B, C, Dをこの順に結んだ四角形、下面は頂点E, F, G, Hをこの順に結んだ四角形であり、辺AE, BF, CG, DHはそれぞれ上面と下面を結ぶ辺(側面の辺)である。このとき、点Aと平面EFGHとの距離を求めなさい。

斜面にそって球を転がしたところ、転がり始めてから$x$秒間に転がる距離を$y$ mとすると、$y$は$x$の2乗に比例することがわかった。転がり始めてから2秒間で8m転がったとき、$y$を$x$の式で表しなさい。

ある凸多面体の面の数は8個、辺の数は12本である。オイラーの公式 $V-E+F=2$ を利用して、この多面体の頂点の数を求めなさい。

底面の半径が3cm、高さが8cmの円柱がある。この円柱の展開図をかいたとき、側面になる長方形の横の長さを求めなさい。ただし、円周率は$\pi$とする。

池にいる魚の総数を調べるために、40匹の魚を捕獲して印をつけてからそのまま池に戻した。数日後、再び60匹の魚を捕獲したところ、その中に印のついた魚が8匹含まれていた。この池にいる魚の総数は、およそ何匹と推定されるか。

三角柱ABC-DEFがある。面ABCと面DEFは合同で平行な三角形であり、辺AD, 辺BE, 辺CFはそれぞれ2つの三角形の対応する頂点を結ぶ辺(側面の辺)である。このとき、辺ABとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。

関数$y=\dfrac{1}{2}x^2$について、$x$の変域が$-4\leqq x\leqq 2$のとき、$y$の変域を求めなさい。

母線の長さが12cm、底面の半径が4cmの円錐がある。この円錐の展開図をかいたとき、側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

底面が正五角形である五角柱について、頂点の数、辺の数、面の数をそれぞれ求めなさい。

ある中学校の3年生200人の中から30人を無作為に選び、1日の読書時間を調査したところ、その平均は42分であった。この学校の3年生200人全体の読書時間の平均は、およそ何分と推定されるか。

関数$y=-2x^2$について、$x$の変域が$-1\leqq x\leqq 3$のとき、$y$の変域を求めなさい。

あるテレビ局が、全国の視聴者の意見を知るために、視聴者の中から無作為に2000人を選んでアンケート調査を行った。この調査における母集団と標本をそれぞれ答えなさい。

関数$y=-x^2$について、$x$の値が$-2$から$1$まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

ある工場で1日に生産されるねじ3600本の中から、120本を無作為に抽出して検査したところ、不良品が3本見つかった。この日生産されたねじ全体には、不良品がおよそ何本含まれていると推定されるか。

ある立体を真正面から見た図(立面図)は二等辺三角形であり、真上から見た図(平面図)は円であった。この立体の名前を答え、そのように判断できる理由を簡単に説明しなさい。

べき級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n!}$ の収束半径を求めよ。

$f(z) = \bar{z}$（$z$の共役複素数）は $\mathbb{C}$上のどの点でも正則でないことを，コーシー・リーマンの関係式を用いて示せ。

関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$f(x)=x^2$ が点 $x_0=2$ で連続であることを，$\varepsilon$-$\delta$論法により証明せよ。

$\mathbb{R}$において，集合 $A=[0,1]$ の内部 $A^\circ$（内点全体の集合）を求めよ。

$\mathbb{R}$（通常の距離）において，有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ の閉包 $\overline{\mathbb{Q}}$ を求め，その理由を説明せよ。

$C$を原点を中心とする半径1の円周（正の向き）とする。$f(z)=e^z$ が $\mathbb{C}$全体で正則であることを用いて，積分 $\displaystyle\oint_C e^z\,dz$ の値を求めよ。

開区間 $(0,1)$ に属する実数全体の集合は可算集合でない（非可算集合である）ことを，カントールの対角線論法を用いて証明せよ。

$C$を原点を中心とする半径2の円周（正の向き）とする。積分 $\displaystyle\oint_C \dfrac{e^z}{z-1}\,dz$ の値を求めよ。

$\mathbb{R}$において，閉区間 $[0,1]$ が閉集合であることを，補集合が開集合であることを示すことにより証明せよ。

距離空間 $(\mathbb{R}, d)$（$d(x,y)=|x-y|$）において，点列 $x_n = 1 + \dfrac{1}{n}$ が $1$ に収束することを，収束の定義（$\varepsilon$-$N$論法）に基づいて証明せよ。

関数 $f(z) = \dfrac{1}{z(z-2)}$ の $z=0$ における留数 $\mathrm{Res}(f,0)$ を求めよ。

写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定める。$f$は単射か，また全射か，理由とともに答えよ。

関数 $f(z) = \dfrac{\sin z}{z^3}$ の $z=0$ におけるローラン展開を求め，$z=0$ がどのような特異点であるかを判定せよ。

関数 $f(z) = \dfrac{1}{1-z}$ を $z=0$ の周りでテイラー展開し，その収束半径を求めよ。

$C$を原点を中心とする半径3の円周（正の向き）とする。留数定理を用いて，積分 $\displaystyle\oint_C \dfrac{1}{z(z-2)}\,dz$ の値を求めよ。

集合 $A = \{1, 2, 3\}$ とする。$A$のべき集合 $P(A)$ の濃度（元の個数）を求めよ。

$\mathbb{R}$（通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による距離空間）において，開区間 $(0,1)$ が開集合であることを，開集合の定義に基づいて証明せよ。

$f(z) = z^2$（$z=x+iy$）を実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ に分けて表し，コーシー・リーマンの関係式 $u_x=v_y,\ u_y=-v_x$ が成り立つことを確認せよ。

写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = 2x + 1$ で定める。$f$が全単射であることを証明せよ。

留数定理を用いて，実積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x^2+1}\,dx$ の値を求めよ。

楕円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ の焦点のうち $x$ 座標が正のものを $F$ とする。この楕円上の点 $P$ の $x$ 座標が3であるとき、点 $P$ の座標（$y$座標は正とする）と、線分 $PF$ の長さを求めよ。

極方程式 $r=\dfrac{6}{2+\cos\theta}$ で表される曲線を直交座標の方程式で表し、曲線の種類を答えよ。

楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ を媒介変数 $\theta$ を用いて $x=3\cos\theta,\ y=2\sin\theta$ と表す。$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ に対応する点における楕円の接線の方程式を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $x=3t^2,\ y=6t$ と表される曲線の直交座標における方程式を求めよ。

次の定積分を求めよ。$\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx$

曲線 $y=x^3-3x$ とx軸で囲まれた図形全体の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2$ 上の点 $(2,4)$ における接線と、この放物線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

楕円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点の座標を求めよ。

公式 $\displaystyle\int_a^b(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ を用いて、次の定積分を求めよ。$\displaystyle\int_{1}^{4}(x-1)(x-4)\,dx$

双曲線 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ。

2つの放物線 $y=x^2$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2点 $(\pm5,0)$ を焦点とし、点 $(4,0)$ を頂点の1つとする双曲線の方程式を求めよ。

放物線 $y^2=8x$ の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

複素数 $z=-\sqrt{3}+i$ を極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$（ただし $0\le\theta<2\pi$）で表せ。

次の定積分を求めよ。$\displaystyle\int_{1}^{3}(2x-1)\,dx$

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

$z=1+\sqrt{3}i$ のとき、$z^6$ の値を求めよ。

次の不定積分を求めよ。$\displaystyle\int(3x^2-4x+5)\,dx$

複素数平面上の点 $z=2+i$ を、原点を中心として $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転し、さらに原点からの距離を2倍した点を表す複素数 $w$ を求めよ。

$z=1+i$ とする。$z^n$ が正の実数となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

次の関数を微分せよ。$f(x)=2x^3-5x^2+4x-3$

$4$人の生徒について、数学の得点$x$と英語の得点$y$は次のようになった。生徒$A$: $x=50, y=60$、生徒$B$: $x=60, y=55$、生徒$C$: $x=70, y=75$、生徒$D$: $x=80, y=70$。$x$と$y$の共分散$s_{xy}$を求めよ。

ある2つの変量$x, y$について、$x$の標準偏差は$5$、$y$の標準偏差は$8$、$x$と$y$の共分散は$32$であった。相関係数$r$の値を求めよ。また、その値から$x$と$y$の間にどのような関係があるといえるか、簡潔に述べよ。

三角形$ABC$において、辺$BC$上に点$D$、辺$CA$上に点$E$があり、$BD:DC = 2:3$、$CE:EA = 1:2$である。直線$DE$と辺$AB$の延長との交点を$F$とするとき、$AF:FB$を求めよ。

あるクラスで実施した$2$回の小テストについて、$1$回目は平均$60$点、標準偏差$12$点、$2$回目は平均$90$点、標準偏差$15$点であった。標準偏差の値だけを見ると$2$回目の方がばらつきが大きいように見えるが、平均点が異なるため単純に比較することはできない。そこで、変動係数（標準偏差$\div$平均）を用いて、どちらの回の得点の方が相対的にばらつきが大きいといえるか答えよ。

曲線 $y=x^2-3x+2$ 上の点 $(1,0)$ における接線の方程式を求めよ。

$5$人の生徒のテストの得点が$60, 70, 80, 90, 100$（点）であった。このデータの分散と標準偏差を求めよ。

すべての実数$x$に対して、不等式$x^2-2kx+3k+4>0$が成り立つような定数$k$の値の範囲を求めよ。

三角形$ABC$において、辺$BC$の中点を$M$とする。中線$AM$の長さが$12$のとき、重心$G$から頂点$A$までの距離$AG$を求めよ。

二次不等式$ax^2+bx+6<0$の解が$-3<x<-2$であるとき、定数$a,b$の値を求めよ。

三角形$ABC$において、$\angle A = 60^\circ$、辺$BC = a = 7$のとき、この三角形の外接円（外心$O$を中心とする円）の半径$R$を求めよ。

三角形$ABC$の内心を$I$とする。$\angle A = 70^\circ$のとき、$\angle BIC$の大きさを求めよ。

鋭角三角形$ABC$の垂心を$H$とする。$\angle A = 50^\circ$のとき、$\angle BHC$の大きさを求めよ。

関数 $f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$ の増減を調べて極値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+ax^2+ax+1$ が極値をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ。

点 $(2,-6)$ から曲線 $y=x^3-3x$ に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ の極値を求めよ。

円の外部の点$P$から円に2本の割線を引く。一方は円と2点$A, B$で交わり$PA = 4$、$PB = 9$である。もう一方は円と2点$C, D$で交わり$PC = 3$である。このとき$PD$の長さを求めよ。

関数 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ の極値を求めよ。

曲線 $y=x^3-x$ 上で、接線の傾きが$2$となる点における接線の方程式をすべて求めよ。

実数$x$について、「$x=2$」であることは、「$x^2-5x+6=0$」であるための何条件か。「十分条件であるが必要条件でない」「必要条件であるが十分条件でない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のいずれかで答えよ。

あるクラスの生徒20人の数学のテストの得点(点)の分布を表した箱ひげ図から、最小値40点、第1四分位数55点、中央値65点、第3四分位数80点、最大値95点であることがわかった。この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを、次の(ア)〜(エ)からすべて選び、記号で答えなさい。 (ア) 四分位範囲は25点である。 (イ) 得点の範囲は55点である。 (ウ) 半数以上の生徒が65点以上の得点をとっている。 (エ) すべての生徒が55点以上の得点をとっている。

次の7個のデータは、生徒7人のハンドボール投げの記録(m)である。$x$の値はまだわかっていない。 18, 22, x, 25, 20, 24, 19 この7人の記録の平均値が21mであるとき、$x$の値を求めなさい。また、そのときのこのデータの中央値を求めなさい。

次の11個のデータは、あるクラスの生徒11人の1週間の読書時間(時間)である。 2, 5, 3, 8, 6, 4, 9, 7, 5, 6, 3 このデータの第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲をそれぞれ求めなさい。

$1$から$50$までの自然数全体を全体集合$U$とする。$U$の部分集合$A$を「$3$の倍数の集合」、$B$を「$4$の倍数の集合」とするとき、$n(A \cup B)$を求めよ。

命題「$x=3$ならば$x^2=9$」について、この命題の逆・裏・対偶をそれぞれ述べ、真偽を判定せよ。

次の10個のデータは、ある部活動の部員10人の上体起こしの回数(回)である。 22, 27, 19, 25, 30, 24, 18, 26, 23, 29 このデータの範囲を求めなさい。

全体集合を$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$とし、その部分集合を$A=\{2,4,6,8,10\}$, $B=\{1,2,3,5,8\}$とする。$A \cap B$と$A \cup B$をそれぞれ求めよ。

$2$次関数$y=x^2-2kx+k+6$のグラフが$x$軸と共有点を持たないような定数$k$の値の範囲を求めよ。