部分積分による定積分の計算

定積分 $\displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx$ の値を求めよ。

$1$

部分積分を用いる。$u = x,\ dv = e^{x}dx$ とおくと $du = dx,\ v = e^{x}$ であるから、$\displaystyle\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C$ となる。よって $\displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx = \left[xe^{x}-e^{x}\right]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$ である。