三次関数と三角方程式の解の個数

$x$の方程式 $2\sin^3x-3\sin x+1=0$ （$0\le x<2\pi$）の異なる実数解の個数を求めよ。

$3$個

$t=\sin x$とおくと方程式は $2t^3-3t+1=0$ となる。$g(t)=2t^3-3t+1$ とすると $g(1)=2-3+1=0$ より $t=1$ は解であり、$g(t)=(t-1)(2t^2+2t-1)$ と因数分解できる。$2t^2+2t-1=0$ を解くと $t=\dfrac{-1\pm\sqrt3}{2}$。これらの値を数値評価すると $t=\dfrac{-1+\sqrt3}{2}\approx0.366$、$t=\dfrac{-1-\sqrt3}{2}\approx-1.366$ であり、後者は $t=\sin x$ の値域 $[-1,1]$ の外にあるため不適。よって $t=\sin x$ の値として適するのは $t=1$ と $t=\dfrac{-1+\sqrt3}{2}$（$\approx0.366$、これは$-1<t<1$の範囲内）の2つ。$0\le x<2\pi$において、$t=1$（すなわち$\sin x=1$）を満たす$x$はちょうど1個（$x=\frac{\pi}{2}$）、$-1<t<1$の範囲の各値を満たす$x$はちょうど2個ずつ存在する。よって解の総数は $1+2=3$ 個。