異なる2つの実数解をもつ条件(判別式)

$x$についての二次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 5 = 0$ が異なる$2$つの実数解をもつように、定数$k$の値の範囲を求めよ。

$k > 2$

この方程式が異なる$2$つの実数解をもつための条件は、判別式を$D$として$D>0$となることである。$x$の係数が偶数なので、$\dfrac{D}{4}=(k+1)^2-(k^2+5)$ を計算すると、$(k+1)^2-(k^2+5)=k^2+2k+1-k^2-5=2k-4$ となる。よって $2k-4>0$ を解いて $k>2$ である。