対数微分法によるx^xの導関数

$x>0$ で定義された関数 $y=x^x$ を、対数微分法を用いて微分せよ。

$y'=x^x(\log x+1)$

両辺の自然対数をとると、$\log y=x\log x$ となる。両辺を $x$ で微分すると、左辺は $\dfrac{y'}{y}$、右辺は積の微分法より $\log x+x\times\dfrac{1}{x}=\log x+1$ となる。したがって $\dfrac{y'}{y}=\log x+1$ より、$y'=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)$ となる。