2次正方行列の固有値と固有ベクトル

行列$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$の固有値と、それぞれに対応する固有ベクトルを1つずつ求めなさい。

$\lambda=1$のとき固有ベクトル$(1,-2)$、$\lambda=4$のとき固有ベクトル$(1,1)$

固有方程式は $\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)(2-\lambda)-2 = \lambda^2-5\lambda+4=(\lambda-1)(\lambda-4)=0$ より $\lambda=1,4$。$\lambda=1$のとき $(A-I)\mathbf{v}=0$ は $2x+y=0$ となり、固有ベクトルは例えば$(1,-2)$。$\lambda=4$のとき $(A-4I)\mathbf{v}=0$ は $-x+y=0$ となり、固有ベクトルは例えば$(1,1)$。