増減・極値・変曲点の総合問題

関数 $f(x)=x^2e^{-x}$（$x\ge0$）の増減、極値、および曲線 $y=f(x)$ の変曲点の $x$ 座標をすべて求めよ。

$0\le x\le2$ で増加、$x\ge2$ で減少し、$x=2$ で極大値 $\dfrac{4}{e^2}$。変曲点は $x=2-\sqrt2,\ 2+\sqrt2$。

$f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}x(2-x)$。$x\ge0$ で $e^{-x}>0$ なので符号は $x(2-x)$ で決まり、$0<x<2$ で正、$x>2$ で負。よって $x=2$ で極大、極大値は $f(2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}$。$f'(x)=e^{-x}(x^2-4x+2)$ となり、$x^2-4x+2=0$ を解くと $x=2\pm\sqrt2$。ともに $x\ge0$ を満たすので変曲点は $x=2-\sqrt2,\ 2+\sqrt2$。