ベクトルの内積となす角

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=4$, $|\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{19}$ を満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めよ。

(3) $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めよ。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b} = 12$ (2) $\theta = 60^\circ$ (3) $t = 6$

(1) $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$ より $(2\sqrt{19})^2 = 36 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 16$ $76 = 52 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}$ $2\vec{a}\cdot\vec{b} = 24$ $\vec{a}\cdot\vec{b} = 12$

(2) $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{12}{6\times 4} = \dfrac{1}{2}$ $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ を満たすのは $\theta = 60^\circ$

(3) 垂直条件より $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = 0$ 展開すると $|\vec{a}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} + t\,\vec{a}\cdot\vec{b} - t|\vec{b}|^2 = 0$ 数値を代入して $36 - 12 + 12t - 16t = 0$ $24 - 4t = 0$ $t = 6$