円に内接する四角形の面積

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $CD=5$, $DA=6$ とする。この四角形の面積、および対角線 $AC$ の長さをそれぞれ求めよ。

面積は $6\sqrt{10}$、$AC=\dfrac{\sqrt{1729}}{7}$

四角形ABCDは円に内接するので $\angle B+\angle D=\pi$ である。$\angle ABC=\theta$ とおくと $\angle ADC=\pi-\theta$。三角形ABCに余弦定理を用いると $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\theta=25-24\cos\theta$。三角形ACDに余弦定理を用いると $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ より $AC^2=CD^2+DA^2-2\cdot CD\cdot DA\cos(\pi-\theta)=61+60\cos\theta$。両者は等しいので $25-24\cos\theta=61+60\cos\theta$ より $\cos\theta=-\dfrac{3}{7}$。$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta=\sqrt{1-\frac{9}{49}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{7}$。四角形の面積は三角形ABCと三角形ACDの面積の和であり、$S=\dfrac12(AB\cdot BC+CD\cdot DA)\sin\theta=\dfrac12(12+30)\times\dfrac{2\sqrt{10}}{7}=6\sqrt{10}$（ブラーマグプタの公式 $S=\sqrt{(s-3)(s-4)(s-5)(s-6)}=\sqrt{6\times5\times4\times3}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$ と一致し検算できる）。対角線は $AC^2=25-24\times\left(-\frac37\right)=25+\dfrac{72}{7}=\dfrac{247}{7}$ より $AC=\dfrac{\sqrt{1729}}{7}$。