背理法による無理数の証明

$\sqrt{3}$が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。

$\sqrt{3}$は無理数である（証明は解説の通り）

$\sqrt{3}$が無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。このとき、互いに素な正の整数$m,n$を用いて $\sqrt{3}=\dfrac{n}{m}$ と表せる。両辺を$2$乗すると $n^2=3m^2$ …①。①より$n^2$は$3$の倍数であるから、$n$も$3$の倍数である。$n=3k$（$k$は整数）とおいて①に代入すると $m^2=3k^2$。これより$m^2$も$3$の倍数であるから、$m$も$3$の倍数である。したがって$m,n$はともに$3$の倍数となり、$m,n$が互いに素であるという仮定に矛盾する。よって、$\sqrt{3}$は無理数である。