位置ベクトルと内分点

三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

$\vec{OP} = \dfrac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}$

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の位置ベクトルは、$\vec{OP}=\dfrac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n}$ で与えられる。ここで $AP:PB=2:1$ であるから $m=2$、$n=1$ を代入すると、$\vec{OP}=\dfrac{1\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}}{2+1}=\dfrac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}$ となる。