陰関数の微分

方程式 $x^2+xy+y^2=7$ で定まる $y$ について、$\dfrac{dy}{dx}$ を $x,\ y$ を用いて表せ。

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$

両辺を $x$ で微分すると、$2x+y+xy'+2yy'=0$。これを $y'$ について整理すると $y'(x+2y)=-(2x+y)$ より $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$。