三角関数を含む極限（テイラー展開）

極限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$ を求めよ。

$\dfrac{1}{2}$

$\cos x$ のマクローリン展開 $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots$ を用いると、$1 - \cos x = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} + \cdots$ となる。したがって $\dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x^2}{24} + \cdots \to \dfrac{1}{2}$（$x \to 0$）である。ロピタルの定理を2回用いても同じ結果が得られる。