互いに素な整数の個数

$a,b$を正の整数とし、$n=2^a\times3^b$ とする。$1$以上$n$以下の整数のうち、$n$と互いに素であるものの個数を$f(n)$とする。(1) $f(n)$を$n$を用いて表せ。(2) $f(n)=32$となるような正の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。

(1) $f(n)=\dfrac{n}{3}$ (2) $(a,b)=(5,1)$（このとき $n=96$）

(1) $1$以上$n$以下の整数のうち $2$の倍数は$\dfrac{n}{2}$個、$3$の倍数は$\dfrac{n}{3}$個、$6$の倍数は$\dfrac{n}{6}$個ある。包除原理より $2$の倍数または$3$の倍数である個数は $\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{n}{6}=\dfrac{2n}{3}$。よって $n$と互いに素な数は $f(n)=n-\dfrac{2n}{3}=\dfrac{n}{3}$。(2) $f(n)=\dfrac{2^a3^b}{3}=2^a3^{b-1}=32=2^5$。左辺が $b-1\ge1$ のとき素因数3を含むが右辺は含まないので、$b-1=0$ すなわち $b=1$、このとき $2^a=2^5$ より $a=5$。よって $(a,b)=(5,1)$、$n=2^5\times3=96$ であり、実際 $f(96)=32$ が成り立つ。