都市人口の増加と対数

ある都市の人口は、現在30万人で、1年ごとに1.05倍に増加しています。$\log_{10}1.05=0.021$、$\log_{10}2=0.301$として、この都市の人口が現在の2倍を超えるのは何年後か、最も小さい自然数で求めなさい。

$15$年後

$n$年後の人口が現在の2倍を超える条件は$1.05^n>2$です。両辺の常用対数をとると$n\log_{10}1.05>\log_{10}2$となり、$n>\dfrac{\log_{10}2}{\log_{10}1.05}=\dfrac{0.301}{0.021}=14.33\cdots$です。したがって、これを満たす最小の自然数は$n=15$なので、$15$年後です。