一次関数の全単射性

写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = 2x + 1$ で定める。$f$が全単射であることを証明せよ。

$f$は全単射である

(単射性) $f(x_1) = f(x_2)$ と仮定すると $2x_1+1=2x_2+1$ より $x_1=x_2$。よって単射である。(全射性) 任意の $y\in\mathbb{R}$ に対し $x=\dfrac{y-1}{2}$ とおくと $f(x)=y$ となるので全射である。単射かつ全射であるから、$f$は全単射である。