三角形の辺の長さ・面積・外接円の半径

三角形ABCにおいて、$AB=7$、$AC=5$、$\angle BAC = 60^\circ$ とする。次の問いに答えよ。 (1) 辺BCの長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積を求めよ。 (3) 三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

(1) $BC=\sqrt{39}$ (2) $S=\dfrac{35\sqrt3}{4}$ (3) $R=\sqrt{13}$

(1) 余弦定理より $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cos 60^\circ = 49+25-2\cdot7\cdot5\cdot\frac12 = 74-35=39$ よって $BC=\sqrt{39}$。

(2) 面積は $S=\frac12\cdot AB\cdot AC\sin 60^\circ = \frac12\cdot7\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{35\sqrt3}{4}$

(3) 正弦定理より $\frac{BC}{\sin A}=2R$ ここで $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$ なので $2R=\frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt3}=2\sqrt{13}$ よって $R=\sqrt{13}$。