ロケットの速度が最大になる時刻

打ち上げられたロケットの、打ち上げ後$t$秒間における高度$h$mが$h(t)=-\dfrac{1}{300}t^4+t^3$（$0\le t\le 300$）で表されるとします。ロケットの上昇速度が最大になる時刻$t$を求めなさい。

$t=150$（秒）

上昇速度は高度を時刻で微分した$v(t)=h'(t)$で表されます。$h'(t)=-\dfrac{4}{300}t^3+3t^2=-\dfrac{1}{75}t^3+3t^2$です。速度が最大になる時刻を求めるには、$v(t)$をさらに微分して$v'(t)=0$となる$t$を求めます。$v'(t)=h''(t)=-\dfrac{3}{75}t^2+6t=-\dfrac{1}{25}t^2+6t=-\dfrac{1}{25}t(t-150)$です。$0<t<300$の範囲で$v'(t)=0$となるのは$t=150$のときで、$v'(t)$は$t=150$の前後で正から負に変わるため、$t=150$で$v(t)$は極大かつ最大になります。したがって上昇速度が最大になるのは$t=150$秒のときです。