台車にはたらく2力の合成

平面上の台車に、大きさ$5$Nの力$\vec{F_1}$と大きさ$5$Nの力$\vec{F_2}$が同時にはたらいています。2つの力のなす角が$120^\circ$であるとき、合力$\vec{F_1}+\vec{F_2}$の大きさを求めなさい。

$5$N

合力の大きさの2乗は$|\vec{F_1}+\vec{F_2}|^2=|\vec{F_1}|^2+2\vec{F_1}\cdot\vec{F_2}+|\vec{F_2}|^2$で求められます。$\vec{F_1}\cdot\vec{F_2}=|\vec{F_1}||\vec{F_2}|\cos120^\circ=5\times5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{25}{2}$なので、$|\vec{F_1}+\vec{F_2}|^2=25+2\times\left(-\dfrac{25}{2}\right)+25=25-25+25=25$となります。したがって$|\vec{F_1}+\vec{F_2}|=5$Nです。