対称行列の固有値と固有ベクトル

行列 $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ の固有値と、それぞれに対応する固有ベクトル（の一例）を求めよ。

固有値は $\lambda=1,3$。$\lambda=3$ に対する固有ベクトルは $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$、$\lambda=1$ に対する固有ベクトルは $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$。

特性方程式 $(2-\lambda)^2-1=0$ より $\lambda=1,3$。$\lambda=3$ のとき $(A-3I)v=0$ は $-x+y=0$ となり固有ベクトルは $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$。$\lambda=1$ のとき $x+y=0$ となり固有ベクトルは $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$。