定積分を含む関数の決定

関数 $f(x)$ が $\displaystyle f(x)=x+\int_{0}^{2} f(t)\,dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

$f(x)=x-2$

$\displaystyle a=\int_{0}^{2}f(t)dt$ とおくと $f(x)=x+a$。$a=\displaystyle\int_{0}^{2}(t+a)dt=2+2a$ より $a=-2$。したがって $f(x)=x-2$。