3次関数とx軸の面積

曲線 $y=x^3-3x$ とx軸で囲まれた図形全体の面積を求めよ。

$\dfrac{9}{2}$

$x^3-3x=x(x^2-3)=0$より、交点は$x=-\sqrt3,0,\sqrt3$である。$-\sqrt3<x<0$では正、$0<x<\sqrt3$では負となるので、面積は2つの定積分の絶対値の和になる。不定積分は$F(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3x^2}{2}$であり、$F(\sqrt3)=F(-\sqrt3)=-\dfrac{9}{4}$、$F(0)=0$。それぞれの面積は$\dfrac{9}{4}$ずつなので、合計は$\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}$となる。