命題の逆・裏・対偶

命題「$x=3$ならば$x^2=9$」について、この命題の逆・裏・対偶をそれぞれ述べ、真偽を判定せよ。

逆「$x^2=9$ならば$x=3$」は偽、裏「$x \neq 3$ならば$x^2 \neq 9$」は偽、対偶「$x^2 \neq 9$ならば$x \neq 3$」は真

元の命題「$x=3 \Rightarrow x^2=9$」は、$3^2=9$であるから真である。逆「$x^2=9 \Rightarrow x=3$」について、$x=-3$のとき$x^2=9$であるが$x=3$ではないので、この逆は偽である。裏「$x \neq 3 \Rightarrow x^2 \neq 9$」について、$x=-3$は$3$ではないが$x^2=9$となるので、この裏は偽である。対偶「$x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq 3$」は、元の命題と真偽が一致するという対偶の性質より真である。