陰関数の接線の傾き

曲線 $x^2+xy+y^2=3$ 上の点 $(1,1)$ における接線の傾きを求めよ。

$-1$

両辺を $x$ について微分する。$y$ を $x$ の関数とみて積の微分法を用いると、$2x+\left(y+xy'\right)+2yy'=0$ となる。これを $y'$ について整理すると、$y'(x+2y)=-(2x+y)$ より $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$ を得る。点 $(1,1)$ を代入すると、$y'=-\dfrac{2\times 1+1}{1+2\times 1}=-\dfrac{3}{3}=-1$ となる。