共鳴を伴う2階定数係数非斉次微分方程式

微分方程式 $y''+y=\sin x$ の一般解を求めよ。

$y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$（$C_1,C_2$ は任意定数）

斉次解は $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$。非斉次項が斉次解と共鳴するため特殊解を $y_p=x(A\cos x+B\sin x)$ とおいて代入すると $A=-\dfrac12,B=0$ を得る。よって一般解は $y=C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac12x\cos x$。