留数定理による周回積分

$C$を原点を中心とする半径3の円周（正の向き）とする。留数定理を用いて，積分 $\displaystyle\oint_C \dfrac{1}{z(z-2)}\,dz$ の値を求めよ。

$0$

特異点$z=0,2$はいずれも円$|z|=3$の内部にある。$\mathrm{Res}(f,0)=-\dfrac{1}{2}$、$\mathrm{Res}(f,2)=\lim_{z\to2}\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}$である。留数定理より、積分は$2\pi i\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=0$となる。