同時確率密度関数と独立性の判定

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数が $f(x,y)=x+y$（$0<x<1,\ 0<y<1$、それ以外では $0$）で与えられている。(1) これが確率密度関数として正しく規格化されていることを確認せよ。(2) $P\left(X<\dfrac{1}{2},\,Y<\dfrac{1}{2}\right)$ を求めよ。(3) $X$ と $Y$ の周辺密度関数をそれぞれ求め、$X$ と $Y$ が独立であるかどうかを判定せよ。

(1) 全積分は $1$ となり正しい。(2) $P\left(X<\dfrac12,Y<\dfrac12\right)=\dfrac{1}{8}$。(3) $f_X(x)=x+\dfrac12$、$f_Y(y)=y+\dfrac12$ であり、$f_X(x)f_Y(y)\ne f(x,y)$ なので独立ではない。

(1) $\displaystyle\int_0^1\int_0^1 (x+y)\,dx\,dy = \displaystyle\int_0^1\left(\dfrac12+y\right)dy = 1$。(2) $\displaystyle\int_0^{1/2}\int_0^{1/2}(x+y)\,dx\,dy=\dfrac18$。(3) 周辺密度は $f_X(x)=\displaystyle\int_0^1(x+y)\,dy=x+\dfrac12$、$f_Y(y)=y+\dfrac12$。$x=1,y=0$を代入すると $f_X(1)f_Y(0)=\dfrac34$ であるが $f(1,0)=1$ で一致しないため、$X$と$Y$は独立ではない。