留数定理を用いた実積分の計算

留数定理を用いて、広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{x^4+1}$ の値を求めよ。

$\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$

上半平面の極は $z_0=e^{i\pi/4}$、$z_1=e^{i3\pi/4}$。それぞれの留数は $-\dfrac{z_k}{4}$ となり、和は $-\dfrac{z_0+z_1}{4}=-\dfrac{\sqrt2i}{4}$。積分値は $2\pi i\times\left(-\dfrac{\sqrt2i}{4}\right)=\dfrac{\pi\sqrt2}{2}=\dfrac{\pi}{\sqrt2}$。