距離空間における点列の収束

距離空間 $(\mathbb{R}, d)$（$d(x,y)=|x-y|$）において，点列 $x_n = 1 + \dfrac{1}{n}$ が $1$ に収束することを，収束の定義（$\varepsilon$-$N$論法）に基づいて証明せよ。

$x_n \to 1$ $(n\to\infty)$

任意の $\varepsilon>0$ を取る。アルキメデスの原理により $\dfrac{1}{N}<\varepsilon$ を満たす自然数 $N$ が存在する。$n\geq N$ ならば $|x_n-1|=\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{1}{N}<\varepsilon$ が成り立つ。よって $x_n \to 1$ $(n\to\infty)$ である。