コーシー・リーマン方程式の確認

$f(z) = z^2$（$z=x+iy$）を実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ に分けて表し，コーシー・リーマンの関係式 $u_x=v_y,\ u_y=-v_x$ が成り立つことを確認せよ。

$u=x^2-y^2,\ v=2xy$ であり，コーシー・リーマン方程式は成立する

$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$より$u=x^2-y^2$、$v=2xy$である。$u_x=2x,\ u_y=-2y,\ v_x=2y,\ v_y=2x$であるから、$u_x=v_y$、$u_y=-v_x$がともに成り立つ。