コーシーの積分公式の適用

$C$を原点を中心とする半径2の円周（正の向き）とする。積分 $\displaystyle\oint_C \dfrac{e^z}{z-1}\,dz$ の値を求めよ。

$2\pi i\,e$

コーシーの積分公式より、$f(z)=e^z$が正則で、$a=1$が円$|z|=2$の内部の点であるから、$\displaystyle\oint_C \dfrac{e^z}{z-1}\,dz = 2\pi i\, f(1) = 2\pi i\, e$となる。