2次正方行列の固有値と固有ベクトル

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めなさい。

固有値 $\lambda=1,3$。固有ベクトルはそれぞれ $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ の定数倍。

固有方程式 $\det(A-\lambda I)=0$ より $(2-\lambda)^2-1=0$、すなわち $\lambda^2-4\lambda+3=0$。因数分解して $(\lambda-1)(\lambda-3)=0$ より $\lambda=1,3$。$\lambda=3$ のとき $(A-3I)v=0$ より $v_1=v_2$ なので固有ベクトルは $(1,1)^T$ の定数倍。$\lambda=1$ のとき $v_1+v_2=0$ より固有ベクトルは $(1,-1)^T$ の定数倍。