空間ベクトルの内積の計算

空間内の3点 $A(1,0,2)$、$B(3,-1,1)$、$C(2,2,0)$ について、$\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ の値を求めよ。

$2$

$\vec{AB}=B-A=(3-1,\,-1-0,\,1-2)=(2,-1,-1)$、$\vec{AC}=C-A=(2-1,\,2-0,\,0-2)=(1,2,-2)$ である。内積は成分ごとの積の和であるから、$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\times1+(-1)\times2+(-1)\times(-2)=2-2+2=2$ である。