オイラーの多面体定理

ある凸多面体の面の数は8個、辺の数は12本である。オイラーの公式 $V-E+F=2$ を利用して、この多面体の頂点の数を求めなさい。

6個

凸多面体では、頂点の数を$V$、辺の数を$E$、面の数を$F$とすると、オイラーの公式 $V-E+F=2$ が成り立つ。問題文より $E=12$, $F=8$ なので、これを代入すると、$V-12+8=2$、$V-4=2$、$V=6$。よって、頂点の数は6個である。このような多面体は例えば正八面体であり、正八面体は頂点6個、辺12本、面8個をもつことが知られている。