2次正方行列の逆行列

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。

$A^{-1} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

2次正方行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の行列式は $ad-bc$ であり、逆行列は $\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられる。この問題では $a=2,\ b=1,\ c=1,\ d=3$ であるから、行列式は $\det A = 2\times3 - 1\times1 = 5$ となる。よって逆行列は $A^{-1} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ である。