文字係数を含む二次不等式（常に成り立つ条件）

すべての実数 $x$ に対して不等式 $x^2-2ax+a+2>0$ が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$-1<a<2$

$y=x^2-2ax+a+2$ は $x^2$ の係数が正なので下に凸の放物線。すべての実数 $x$ について $y>0$ となるための必要十分条件は、この放物線が $x$ 軸と共有点を持たないこと、すなわち判別式が負であることである。判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)$。$\dfrac{D}{4}<0$ より $(a-2)(a+1)<0$ を解いて $-1<a<2$。