積分で定義された数列の極限

自然数 $n$ に対して $a_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx$ とする。

(1) $a_n$ を $a_{n-1}$ を用いて表せ（漸化式を求めよ）。

(2) $0 < x \le 1$ において不等式 $1 \le e^{1-x} \le \frac{1}{x}$ が成り立つことを示し、これを用いて $\frac{e^{-1}}{n+1} \le a_n \le \frac{e^{-1}}{n}$ を示せ。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n a_n$ を求めよ。

(1) $a_n = n a_{n-1} - e^{-1}$ (2) 略（上記の通り証明され、$\dfrac{e^{-1}}{n+1} \le a_n \le \dfrac{e^{-1}}{n}$ が成り立つ） (3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n a_n = \dfrac{1}{e}$

(1) 部分積分により $a_n = \int_0^1 x^n e^{-x}dx = \left[-x^n e^{-x}\right]_0^1 + n\int_0^1 x^{n-1}e^{-x}dx = -e^{-1} + n a_{n-1}$ よって $a_n = n a_{n-1} - e^{-1}$。

(2) $f(x) = \ln x - (x-1)$ とおくと $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$。$0<x<1$ で $f'(x)>0$、$x>1$ で $f'(x)<0$ だから $f$ は $x=1$ で最大値 $f(1)=0$ をとる。よって $0<x\le1$ で $\ln x \le x - 1 \iff x \le e^{x-1} \iff e^{1-x} \le \frac{1}{x}$ また $0<x\le1$ より $1-x\ge0$ なので $e^{1-x}\ge 1$。以上より $1 \le e^{1-x} \le \frac{1}{x} \quad (0<x\le1)$

この不等式の各辺に $e^{-1}$ をかけると $e^{-1} \le e^{-x} \le \frac{e^{-1}}{x}$ さらに各辺に $x^n$（$>0$）をかけると（$x=0$ でも両端は $0$ となり成立） $e^{-1}x^n \le x^n e^{-x} \le e^{-1}x^{n-1}$ これを $0$ から $1$ まで積分すると $e^{-1}\int_0^1 x^n dx \le a_n \le e^{-1}\int_0^1 x^{n-1}dx$ $\frac{e^{-1}}{n+1} \le a_n \le \frac{e^{-1}}{n}$ が得られる。

(3) (2) の不等式の各辺に $n$ をかけると $\frac{n}{n+1}e^{-1} \le n a_n \le e^{-1}$ $n\to\infty$ のとき $\dfrac{n}{n+1}\to 1$ より左辺は $e^{-1}$ に収束する。はさみうちの原理により $\lim_{n\to\infty} n a_n = e^{-1}$